高三物理 电荷、库仑定律

名师原声课堂讲义库

主讲老师： 徐辉

一、学习目标

1．理解点电荷的概念，掌握库仑定律及其应用；

2．通过点电荷这一理想化模型培养理想化思维能力；

3．通过电荷守恒定律培养物理量守恒的思想方法；

4．通过库仑定律的理解与运用培养分析能力．

二、重点难点

1．库仑定律

（1）内容：在真空中两个点电荷的作用力跟它们的电量的乘积成正比，跟它们间的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

（2）表达式：（1.1）

式中k叫静电力常量，它的量值与选用的单位有关，在国际单位制中，电量的单位为库仑，距离的单位为米，力的单位为牛顿，则由实验得出：k=9.0×109N·m2/C2.

2．对库仑定律的物理意义和有关概念的理论应明确以下几个问题

①正确理解应用库仑定律时出现的正负号的物理意义

在应用式(1.1)式计算电荷之间的相互作用力时，当Q1和Q2同号时，F为正；当Q1和Q2异号时，F为负。这里的正号和负号不是表示库仑力的大小，它表示的是两个电荷之间库仑力的性质，其中正号表示斥力，负号表示引力。

②初学时经常会出现以下两种错误。

[常见错误] 把表示力的性质的正负号理解为数学中有理数的正负号。例如：点电荷A对点电荷B作用的库仑力为F1=2×10－5N，点电荷C对点电荷B作用的库仑力为F2=－4×10－5N。有些同学会认为，由于2×10－5>－4×10－5，所以F1>F2。这显然是错误的。错误的原因就在于把库仑定律公式中用来表示力的性质的正负号理解为数学中有理数的正负号。

[常见错误]把表示力的性质的正负号理解为表示方向的正负号。例如：在真空中一条直线上等距离排列的A、B、C三点，分别放置电量为＋Q、－Q和＋Q的点电荷，它们之间的距离均为r，如图1—1所示。试求点电荷B所受到的力。

有人错误地解答如下：

设A对B的作用力为FAB，C对B的作用力为FCB，根据(1.1)式得     所以。

显然，上面的解法是错误的。发生错误的原因就在于把库仑定律公式中用来表示力的性质的正负号与用来表示方向的正负号混淆起来了。题中要求的是合力，如果要用坐标法计算，并规定向右为坐标轴正向，那么B电荷受到向右的力应为正，向左的力则为负。现在B电荷受到电荷C的吸引力的方向在B、C的连线上向右，故C对B的引力FCB为正；同理，A对B的吸引力FAB指向左，应为负。

所以B 电荷受到的合力为。

③注意库仑定律的适用条件

库仑定律只适用于计算真空中点电荷之间的相互作用力，因此，我们必须正确地理解点电荷的概念。

什么是点电荷呢？点电荷是带电体的理想模型。如果带电体自身的大小相对于它们之间的距离来说足够小，因而它们的形状和大小对相互作用力的影响小得可以忽略不计，那么这样的带电体就可以看成点电荷。

[常见错误] 若将A带电体向B带电体无限靠近，即r→0时，从数学观点看，中的y→0时，应该得F→∞，即两者的库仑力趋向无限大。

读者往往对上述推理结论表示怀疑，但认为推理过程又好像没有问题。实际上，这个推理从数学角度看是没有问题的，但从物理角度看是错误的，错误的原因在于对点电荷的概念和库仑定律的运用条件没有搞清楚。因为，当A向B无限靠近时，带电体A和B就不能看成是点电荷了，当然也就不能应用库仑定律的公式来计算。

在理解库仑定律的适用条件时，还应注意：库仑定律的适用范围是两静止点电荷的相互作用，也可以推广到静止的点电荷与运动的点电荷之间的相互作用（例如原子核对运动电子的作用）。

三、典型例题

例1、如图1—2所示，两根同样长度的细绳，把两个带同种电荷的小球悬挂在同一点，两球的质量相等，A球所带电量大于B球所带电量。当两球静止时，下列表示α角与β角的关系的答案正确的是（）

图1—2

A．α>βB．α=βC．α<βD．无法判断

提示：此题实际上是力学中物体的平衡问题，只是在物体的受力中多了一个库仑力罢了。有的人很快想到以下两种解法。

方法一：隔离法。“两球静止”意思是两球分别受力平衡，故可分别对两球进行受力分析，再由共点力的平衡条件，分别列出关于α和β的表达式，从而可以比较α和β的大小关系。

A球受重力mg、绳子的拉力TA和B球对它的斥力FBA，方向如受力分析图，由平衡条件有FBA=mgtanα，（1）

由库仑定律，有（r为A、B间距离），（2）

联立（1）（2）式解得（3）

对B球，同理可求（4）

比较（3）（4）式可知：α=β。

故选B答案。

这种解法先不看结论正确与否，仅推理过程中就有问题。问题出在（1）式，（1）式把力的矢量三角形当作直角三角形，即认为FBA方向是水平的。试想一下，图中两绳等长，△OAB为等腰三角，如果FBA方向水平，A、B连线也就为水平的，那么过O点的竖直线就应该是等腰三角形底边AB的中垂线，它将平分∠AOB，即α=β。也就是说，（1）式中承认α=β，这种解法实际上用α=β这个条件去证明α=β这个结论，这显然是不符合逻辑的。

方法二：因为A球所带电量大于B球所带电量，故A球对B球斥力大于B球对A球斥力，B球受较大的斥力作用偏离竖直线要远些，即α<β，选C项。

这种解法显然是错误的，错误出在认为A球对B球的库仑力大于B球对A球的库仑力。事实上，两个带电体间相互作用的库仑力同样遵循牛顿第三定律，不管两带电体的带电量是否相等，它们之间的相互作用力总是等值反向。因此，本题中，尽管A球带电量大于B球带电量，A对B的斥力与B对A的斥力的大小应该是相等的。

此题的正确解法应该是：

方法一：把A、B球和两细绳当成一个整体，由于细绳重力可不计，两球质量相等，所以整体的重心在两球连线的中点；整体受到O点对它竖直向上的拉力F和竖直向下的重力G的作用，处于平衡状态（如图1—3）。由二力平衡条件可知，拉力F和重力G作用在一条直线上，即整体的重心应在悬点O的正下方，又因两绳等长，故α=β。

图1—3图1—4

方法二：把A、B球和两绳看作一个整体，“两球静止”，即整体处于平衡状态（如图1—4），以O为转轴，由力矩形平衡条件有mA- g·lsinα=mB- g·lsinβ，

因两球质量相等，即mA=mB，故有sinα=sinβ，即α=β，选B项。

例2、在真空中有两个点电荷，它们之间距离是L时，相互作用的库仑力是F。如果把两个电荷之间的距离缩短10cm，则相互作用的库仑力大小变为4F。由此可以求得L的大小是多少？

提示：根据已知条件，当真空中两个点电荷相距L时，它们之间的相互作用力满足（1）

式中Q1、Q2分别为两点电荷的电量。

当它们之间的距离缩短10cm后，相互作用力满足（2）

用（1）÷（2）并经整理得，即可得到3L2－80L＋400=0，（3）

解以上二次方程，得L=20cm。

这道题主要考查库仑定律的应用，同时考查了运用数学知识解答物理问题的能力。根据已知条件，分别列出若干方程，再通过联立方程求解，这是解答有关库仑定律的题目的常见方法，也是解答其它物理问题的一般方法。

例3、有两个带电小球，电量分别为＋Q和＋9Q，在真空中相距0.4m。如果引进第三个带电小球，正好使三个小球都处于平衡状态，第三个小球带的是哪种电荷？应放在什么地方？电量是Q的几倍？

解析：此题可以分四步进行分析：

第一步，定性判断第三个小球应放的大致位置。要使三个小球都处于平衡状态，其中任一个小球受另外两个小球的库仑力应该等值反向。因此，三个小球必须在一条直线上，即第三个小球应放在另两个小球＋Q和＋9Q的连线上或其延长线上；不难分析，第三个小球不能放在另两个小球连线的延长线上，否则第三个小球受另两个的库仑力的方向相同，合力不可能为零，因此，第三个小球只能放在另两个小球之间的连线上。

第二步，定量计算小球的具体位置。设第三个小球带电量为q，放在＋Q和＋9Q的连线上距＋Q和＋9Q的连线上距＋Q距离为x m处（如图1—5），由平衡条件和库仑定律有解得x=0.1m

即第三个小球应放在＋Q和＋9Q的连线上，且距离＋Q为0.1m处。

第三步，判断第三个带电小球的电性。第三个小球不管带正电还是负电，放在此位置都能平衡，但如果第三个小球带正电，另两个小球＋Q和＋9Q就不能受力平衡，只有带负电，才能同时保证＋Q和＋9Q受力也平衡。

第四步，计算第三个小球的带电量。以＋Q为研究对象，由受力平衡条件。

即第三个小球带负电，电量为Q的 电量为Q的 。

思考：如果将＋Q改为－Q，或者将＋9Q改为－9Q，结果又怎么样呢？读者可用上述方法自行分析。并比较这几种情况的结果，我们不难发现一个共同结论。那就是，三个点电荷处于平衡状态的前提是：三点共线，两大夹小，两同夹异。

四、归纳总结

1．两种电荷、电荷守恒定律

（1）两种电荷

自然界中的电荷只有两种，即正电荷和负电荷。用绸子摩擦过的玻璃棒所带的电荷是正电荷；用毛皮摩擦过的硬橡胶棒所带的电荷是负电荷。电荷之间有相互作用，同种电荷互相排斥，异种电荷互相吸引。

（2）元电荷

电子带有最小的负电荷，其电量为e=－1.6×10－19库仑，质子带有最小的正电荷，它们电量的绝对值相等，因此，我们把1.6×10－19库仑叫做元电荷。物体的带电量是e的整数倍。

（3）物质起电的实质

使物体带电的方法有摩擦起电、感应起电和接触起电。物体起电的实质是得到电子或失去电子。

（4）电荷守恒定律

在任何物理过程中，电荷既不能创造，也不能消灭，它们只能由一个物体转移到另一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分，在电荷的分离和转移的过程中总量保持不变，这就是电荷守恒定律。也可以理解为：当系统与外界无电荷交换时，系统的电荷的代数和保持不变。电荷守恒定律是我们今后分析静电现象的重要依据。

（5）一个有用的结论

完全相同的带电金属球相接触，电量的分配规律为：同种电荷总电量平均分配，异种电荷先中和后平均分配。如：两完全相同的金属球，带电量分别为Q1=－2×10－9C和Q2=－4×10－9C，则接触后带电量均为；若两球带电量分别为Q1=2×10－9C和Q2=－4×10－9C，则接触后带电量均为：

。

2．库仑定律

（1）内容：在真空中两个点电荷的作用力跟它们的电量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

（2）表达式：

式中k叫静电力常量，它的量值与选用的单位有关，在国际单位制中，电量的单位为库仑，距离的单位为米，力的单位为牛顿，则由实验得出：k=9.0×109N·m2/C2。

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